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<title>Integrables System</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Integrables System</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein integrables System ist ein <a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">dynamisches System</a>, welches eine besonders hohe strukturelle Ordnung und explizite Lösbarkeit besitzt. Integrablität bedeutet, dass das System eine tieferliegende mathematische Struktur besitzt, die seine explizite Lösung durch systematische Methoden erlaubt. Durch die Lösbarkeit des Systems erhält man insbesondere eine präzise Vorhersage des Langzeitverhaltens des Systems, was solche Systeme von chaotischen Systemen unterscheidet. Es existiert keine einheitliche formale Definition des Begriffs integrables System, der Begriff wird in verschiedenen Kontexten unterschiedlich verwendet.

In der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> bezeichnet man ein System als integrabel, wenn es Liouville-integrabel (s. u.) ist, das heißt, wenn es genügend viele in Involution stehende (s. u.) <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgrößen</a> besitzt. Für <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">quantenmechanische</a> Systeme existiert der Begriff der Quantenintegrabilität. In moderneren Ansätzen wird ein System als integrabel bezeichnet, wenn es explizit gelöst werden kann, etwa durch Methoden wie die <a href="Inverse_Streutransformation" title="Inverse Streutransformation">inverse Streutransformation</a>, <a href="Riemann-Hilbert-Problem" title="Riemann-Hilbert-Problem">Riemann-Hilbert-Analyse</a> oder <a href="Fredholm-Determinante" title="Fredholm-Determinante">determinantenbasierte</a> Verfahren. Der Fokus liegt dabei weniger auf der Existenz struktureller Kriterien wie zum Beispiel <a href="Lax-Paar" title="Lax-Paar">Lax-Paaren</a> oder Symmetrien, sondern auf tatsächlicher Lösbarkeit und Kontrolle der asymptotischen Regionen, das heißt das Verhalten in den <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzregionen</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Integrable Systeme treten in zahlreichen Bereichen der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> und <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> auf, darunter in der Theorie der nichtlinearen <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> (z. B. <a href="Korteweg-de-Vries-Gleichung" title="Korteweg-de-Vries-Gleichung">Korteweg-de-Vries-Gleichung</a>, <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">nichtlineare Schrödingergleichung</a>), in der <a href="Statistische_Mechanik" title="Statistische Mechanik">statistischen Mechanik</a> (z. B. <a href="Ising-Modell" title="Ising-Modell">Ising-Modell</a>, <a href="Heisenberg-Modell" title="Heisenberg-Modell">XXZ-Modell</a>), der <a href="Wahrscheinlichkeitstheorie" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitstheorie</a> (z. B. <a href="Zufallsmatrix" title="Zufallsmatrix">Zufallsmatrizen</a>, integrablen Wahrscheinlichkeit, <a href="TASEP" class="mw-redirect" title="TASEP">TASEP</a>), der <a href="Darstellungstheorie" title="Darstellungstheorie">Darstellungstheorie</a>, der <a href="Algebraische_Geometrie" title="Algebraische Geometrie">algebraischen Geometrie</a> und weiter. Der Begriff der Integrablen Methode (IM) steht dabei für ein einheitliches methodisches Gerüst, das viele dieser scheinbar unterschiedlichen Anwendungen miteinander verbindet.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Integrables_System">Integrables System</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klassische_Mechanik">Klassische Mechanik</h3></div>

Sei ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}" loading="lazy">-dimensionaler <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf6ef8da44bfb372652071d3d1c5773f8c0bd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.259ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}" loading="lazy"> mit Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33720dd3db45db63ac39f169008a4bff766051e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a6ce56b35e9d5a01db3c277beaaf40d796d73e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:15.956ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})}" loading="lazy"> (<a href="Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">Position</a> und <a href="Generalisierter_Impuls" title="Generalisierter Impuls">Impuls</a>) und <a href="Hamilton-Funktion" title="Hamilton-Funktion">Hamilton-Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5591f612d694e0117e0f3f0dcc73e91a82510d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.832ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> gegeben. Für zwei Phasenraumfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(q,p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(q,p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/609af6e13ccfbe6fdd404ca2838783da96d8d193.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.823ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(q,p)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(q,p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(q,p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1ee34f61c5c829a10095129e57f5c41e2b0a3c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(q,p)}" loading="lazy"> werden die <a href="Poisson-Klammer" title="Poisson-Klammer">Poisson-Klammern</a> definiert

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{F,G\}:=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{k}}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e926589fd668f4fe4d8d18c080489433643db046.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:39.094ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \{F,G\}:=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{k}}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Poisson-Klammer kann hergeleitet werden, in dem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> nach der Zeit ableitet und dann die <a href="Hamiltonsche_Mechanik" title="Hamiltonsche Mechanik">hamiltonschen Bewegungsgleichungen</a>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{k}={\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}\,,\quad {\frac {d}{dt}}p_{k}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/332c359e74528464d7335d4d6eaa6d36a71b69a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.608ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{k}={\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}\,,\quad {\frac {d}{dt}}p_{k}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

einfügt.

Zwei Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> Poisson-kommutieren, wenn die Poisson-Klammer verschwindet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{F,G\}=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{F,G\}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/088faf34498919d4282bd41a081fad563cccedc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{F,G\}=0}" loading="lazy">. Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">, die mit dem Hamiltonian <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> Poisson-kommutiert, ist eine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a>. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{F,G\}=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{F,G\}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/088faf34498919d4282bd41a081fad563cccedc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.187ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{F,G\}=0}" loading="lazy">, dann sagt man auch, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> in Involution stehen, weil die Größen, die durch diese Funktionen beschrieben werden, unabhängig voneinander sind und sich in ihrer Entwicklung nicht gegenseitig beeinflussen.

Ein dynamisches System heißt Liouville-integrierbar falls es <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> unabhängige Erhaltungsgrößen hat, die gegenseitig in Involution stehen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=0,\quad i,j=1,\dots ,n.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e949d48761edd661c66bad07bfe9c972c11d557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.95ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=0,\quad i,j=1,\dots ,n.}" loading="lazy"><a href="#cite_note-3">[3]</a></dd></dl>

Der <a href="Satz_von_Arnold-Liouville" class="mw-redirect" title="Satz von Arnold-Liouville">Satz von Liouville</a> sage:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=H(x,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf4bdf58d36c90c12b719aa1ec6be45261ddf565.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H=H(x,t)}" loading="lazy"> eine Hamilton-Funktion auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47460f1a92774729807be11cf62b9178b5771b4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.719ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}" loading="lazy"> mit kanonischer Poisson-Klammer und seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/900ddceee4944ca19a2d730f7dc5b38ca0ff3b66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}" loading="lazy"> <a href="Integral_der_Bewegung" title="Integral der Bewegung">Integrale der Bewegung</a>, welche gegenseitig Poisson-kommutieren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{I_{i},I_{j}\}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{I_{i},I_{j}\}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec8c72a5e14e4af1b384aa58cd17b6b7158aa671.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.375ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{I_{i},I_{j}\}=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j=1,\dots ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j=1,\dots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b25f628c6d3f479c7093f53f3495bfac0c1d9c98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.628ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j=1,\dots ,n}" loading="lazy">. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/900ddceee4944ca19a2d730f7dc5b38ca0ff3b66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}" loading="lazy"> unabhängig auf der Niveaumenge

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{a}=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{2n}\times \mathbb {R} \colon I_{i}=a,i=1,\dots ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c283ed131cd63e5bee2100f0f6fcb2575ae0a61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.132ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C_{a}=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{2n}\times \mathbb {R} \colon I_{i}=a,i=1,\dots ,n\}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>sind, dann erhält man die Lösung der Hamilton-Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x=\{H,x\}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x=\{H,x\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f54f2167d29d4a7cb87e9e57dca02495c4b7287a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.072ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}x=\{H,x\}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab87abaf2947149bbc00050280796cc35e687afd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.764ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{a}}" loading="lazy"> durch Quadratur (d.h. explizite Integration).<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Modernere_Theorien">Modernere Theorien</h3></div>

Die moderne Theorie integrierbarer Systeme begann mit der 1967 erschienen Arbeit von <a href="Clifford_Gardner" title="Clifford Gardner">Clifford Gardner</a>, <a href="John_Greene_(Physiker)" title="John Greene (Physiker)">John Greene</a>, <a href="Martin_Kruskal" title="Martin Kruskal">Martin Kruskal</a> und <a href="Robert_Miura" title="Robert Miura">Robert Miura</a> (GGKM)<a href="#cite_note-6">[6]</a>, die eine neuartige Methode zur Lösung der <a href="Korteweg-de-Vries-Gleichung" title="Korteweg-de-Vries-Gleichung">Korteweg-de-Vries-Gleichung</a> (KdV)

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{t}+6qq_{x}-q_{xxx}=0,\quad q_{0}(x)\to 0{\text{ wenn }}|x|\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed721e5370fc7d5c4877815a3be2cdb529e31045.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{t}+6qq_{x}-q_{xxx}=0,\quad q_{0}(x)\to 0{\text{ wenn }}|x|\to \infty }" loading="lazy"></dd></dl>

entwickelten, die <a href="Inverse_Streutransformation" title="Inverse Streutransformation">Inverse Streutransformation</a>. Diese Methode beruhte auf der Spektral- und Streutheorie des zeitabhängigen <a href="Schr%C3%B6dinger-Operator" title="Schrödinger-Operator">Schrödinger-Operators</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(t):=-\partial _{x}^{2}+q(x,t)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t):=-\partial _{x}^{2}+q(x,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e969d92b74a62132f3fcd528ffdb84d367ca0b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.115ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L(t):=-\partial _{x}^{2}+q(x,t)}" loading="lazy"> und ermöglichte die explizite Integration der KdV-Gleichung. Ein Jahr später formulierte <a href="Peter_Lax" title="Peter Lax">Peter Lax</a> die Gleichung um. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(t):=4\partial _{x}^{3}-6q\partial _{x}-3q_{x}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(t):=4\partial _{x}^{3}-6q\partial _{x}-3q_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23055dfef0d30d95093dd07d5d58351370450e76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.419ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle B(t):=4\partial _{x}^{3}-6q\partial _{x}-3q_{x}}" loading="lazy">, dann lässt sich die KdV-Gleichung als <a href="Lax-Gleichung" class="mw-redirect" title="Lax-Gleichung">Lax-Gleichung</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{t}L=[B,L]=BL-LB}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1060b0771db4f3c1af87b8077710206bcfe7a782.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.049ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{t}L=[B,L]=BL-LB}" loading="lazy"></dd></dl>

formulieren. Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> wurde so gewählt, dass das <a href="Spektrum_(Operatortheorie)" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> über die Zeit konstant bleibt, das heißt es gibt eine Familie unitärer Transformationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (U(t))_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (U(t))_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cd65b095e50f5f47ee0e4c9be90e8e59efabd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.067ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (U(t))_{t}}" loading="lazy"> so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(t)=U^{-1}(t)L(0)U(t)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t)=U^{-1}(t)L(0)U(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2d4297d13503a58235ef361e5879fd1d949584e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.139ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L(t)=U^{-1}(t)L(0)U(t)}" loading="lazy"> und daraus folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Spec} (L(t))=\operatorname {Spec} (L(0))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Spec} (L(t))=\operatorname {Spec} (L(0))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d29b484a72fbc612d8aeff63f8639975b4239dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Spec} (L(t))=\operatorname {Spec} (L(0))}" loading="lazy">. Man nennt dies isospektrale Deformation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db1ab667b7327d5df3aa6f10c853cf3557acf87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(t)}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Die konstanten Eigenwerte sind dabei Erhaltungsgrößen des Systems, so dass die KdV-Gleichung Liouville-integrabel wird. Die Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> nennt man <a href="Lax-Paar" title="Lax-Paar">Lax-Paare</a> und für andere partielle Differentialgleichungen wurden später weitere Lax-Paare gefunden, darunter die nichtlineare <a href="Schr%C3%B6dinger-Gleichung" class="mw-redirect" title="Schrödinger-Gleichung">Schrödinger-Gleichung</a> und die <a href="Sinus-Gordon-Gleichung" class="mw-redirect" title="Sinus-Gordon-Gleichung">Sinus-Gordon-Gleichung</a>.<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a>

1974 wurde ein Verfahren - die <a href="Sacharow-Schabat-Konstruktion" title="Sacharow-Schabat-Konstruktion">Sacharow-Schabat-Konstruktion</a> - eingeführt, mit dem man Lax-Paare konstruieren kann, die ein integrables System erzeugen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Abstrakte_Definition">Abstrakte Definition</h4></div>

Die nachfolgende Definition stammt von <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a> und verzichtet dabei auf die Begriffe Liouville-Integrabilität und Erhaltungsgrößen:<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<dl><dd>Ein dynamisches System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =\eta (a,b,\dots )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =\eta (a,b,\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b01557fbb9dbceaed4e432e5623fdacec0a2d9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta =\eta (a,b,\dots )}" loading="lazy"> gilt als integrables System, wenn

<ul><li>es eine bijektive <a href="Substitution_(Mathematik)" title="Substitution (Mathematik)">Substitution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \to \zeta :=\varphi (\eta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \to \zeta :=\varphi (\eta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbe42f5a4498ed112b99fc969b95ded927a20455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.123ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta \to \zeta :=\varphi (\eta )}" loading="lazy"> gibt, sodass durch die Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta (a,b,\dots )=\varphi (\eta (a,b,\dots ))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta (a,b,\dots )=\varphi (\eta (a,b,\dots ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a04d03758be48e4b4c02ce031ce4d318c2816c7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.422ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta (a,b,\dots )=\varphi (\eta (a,b,\dots ))}" loading="lazy"> die Abhängigkeiten des System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\dots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d69e1a89510a355e9873f64d4b42194606888f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.372ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\dots }" loading="lazy"> einfach und gut verstanden ist.</li>

<li>die Abbildungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:\eta \mapsto \zeta :=\varphi (\eta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:\eta \mapsto \zeta :=\varphi (\eta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbe12b4cabf4b26f147282eb8dad1294e97b2083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T:\eta \mapsto \zeta :=\varphi (\eta )}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z:\zeta \mapsto \eta =\varphi ^{-1}(\zeta )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z:\zeta \mapsto \eta =\varphi ^{-1}(\zeta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f35ad00ccc0172213a7c91b150e6dbe25811992.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.352ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Z:\zeta \mapsto \eta =\varphi ^{-1}(\zeta )}" loading="lazy"> einfach und gut verstanden sind, sodass daraus das Verhalten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta (a,b\dots )=\varphi ^{-1}(\zeta (a,b,\dots ))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta (a,b\dots )=\varphi ^{-1}(\zeta (a,b,\dots ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b86aaf295ae6bc1e2a6e92d467efd12736b32c12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.034ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \eta (a,b\dots )=\varphi ^{-1}(\zeta (a,b,\dots ))}" loading="lazy"> explizit erschlossen werden kann, insbesondere in den Fällen, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,\dots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10081fc025f8c78c21b383b2faaa41193d66d61f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.018ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,\dots }" loading="lazy"> variieren und speziell klein oder groß werden.</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrabilität_vs._Nicht-Integrabilität">Integrabilität vs. Nicht-Integrabilität</h3></div>

Integrabilität bezeichnet ganz allgemein die Eigenschaft eines Systems, dessen Dynamik durch strukturierte Methoden explizit beschrieben werden kann, dies muss auch nicht immer in einer geschlossenen Lösungsform sein. In diesem Sinne sind integrable Systeme „lösbar“, weil man ihr Verhalten langfristig genau analysieren kann. Nicht-integrable Systeme sind hingegen durch Eigenschaften wie chaotisches Verhalten, starke abhängig von Anfangsbedingungen, dem Fehlen genügender Erhaltungsgrößen oder ganz allgemein dem Fehlen der Methoden, die mit integrablen Systemen verbunden sind, charakterisiert.<a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Olivier Babelon, Denis Bernard und Michel Talon: <cite style="font-style:italic">Introduction to Classical Integrable Systems</cite>. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2003.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Olivier+Babelon%2C+Denis+Bernard+und+Michel+Talon&rft.btitle=Introduction+to+Classical+Integrable+Systems&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.place=Vereinigtes+K%C3%B6nigreich" style="display:none"> </li>

<li>Ana Retore: <cite style="font-style:italic">Introduction to classical and quantum integrability</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical</cite>. Band 55, 2022, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/1751-8121%2Fac5a8e">10.1088/1751-8121/ac5a8e</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.atitle=Introduction+to+classical+and+quantum+integrability&rft.au=Ana+Retore&rft.btitle=Journal+of+Physics+A%3A+Mathematical+and+Theoretical&rft.date=2022&rft.doi=10.1088%2F1751-8121%2Fac5a8e&rft.genre=book&rft.volume=55" style="display:none"> </li>

<li>Alain Goriely: <cite style="font-style:italic">Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems</cite>. Hrsg.: World Scientific. Singapur 2001.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Alain+Goriely&rft.btitle=Integrability+and+Nonintegrability+of+Dynamical+Systems&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.place=Singapur" style="display:none"> </li>

<li><a href="Wladimir_Jewgenjewitsch_Sacharow" title="Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow">Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow</a>: <cite style="font-style:italic">What Is Integrability?</cite> Hrsg.: Springer (= <cite style="font-style:italic">Springer Series in Nonlinear Dynamics</cite>). Berlin, Heidelberg 1991, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88703-1">10.1007/978-3-642-88703-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Wladimir+Jewgenjewitsch+Sacharow&rft.btitle=What+Is+Integrability%3F&rft.date=1991&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88703-1&rft.genre=book&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.series=Springer+Series+in+Nonlinear+Dynamics" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, S. 5–6, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book&rft.pages=5-6" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Olivier Babelon, <a href="Denis_Bernard" title="Denis Bernard">Denis Bernard</a> und Michel Talon: <cite style="font-style:italic">Introduction to Classical Integrable Systems</cite>. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2003, S. 5–6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Olivier+Babelon%2C+Denis+Bernard+und+Michel+Talon&rft.btitle=Introduction+to+Classical+Integrable+Systems&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.pages=5-6&rft.place=Vereinigtes+K%C3%B6nigreich" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Alaing Goriely: <cite style="font-style:italic">Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems</cite>. Hrsg.: World Scientific. Singapur 2001, S. 309.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Alaing+Goriely&rft.btitle=Integrability+and+Nonintegrability+of+Dynamical+Systems&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.pages=309&rft.place=Singapur" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, S. 2–3, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book&rft.pages=2-3" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal und R. M. Miura: <cite style="font-style:italic">Method for Solving the Korteweg-deVries Equation</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letter</cite>. Band 19, 1967, S. 1095–1097.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.atitle=Method+for+Solving+the+Korteweg-deVries+Equation&rft.au=C.+S.+Gardner%2C+J.+M.+Greene%2C+M.+D.+Kruskal+und+R.+M.+Miura&rft.btitle=Physical+Review+Letter&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.pages=1095-1097&rft.volume=19" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Peter_Lax" title="Peter Lax">Peter Lax</a>: <cite style="font-style:italic">Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Comm. Pure Appl. Math.</cite> Band 21, 1968, S. 6, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503">10.1002/cpa.3160210503</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.atitle=Integrals+of+nonlinear+equations+of+evolution+and+solitary+waves&rft.au=Peter+Lax&rft.btitle=Comm.+Pure+Appl.+Math.&rft.date=1968&rft.doi=10.1002%2Fcpa.3160210503&rft.genre=book&rft.pages=6&rft.volume=21" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Alain Goriely: <cite style="font-style:italic">Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems</cite>. Hrsg.: World Scientific. Singapur 2001, S. 309.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Alain+Goriely&rft.btitle=Integrability+and+Nonintegrability+of+Dynamical+Systems&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.pages=309&rft.place=Singapur" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, S. 3, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book&rft.pages=3" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, S. 9, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book&rft.pages=9" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a href="Wladimir_Jewgenjewitsch_Sacharow" title="Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow">Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow</a>: <cite style="font-style:italic">What Is Integrability?</cite> Hrsg.: Springer (= <cite style="font-style:italic">Springer Series in Nonlinear Dynamics</cite>). Berlin, Heidelberg 1991, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88703-1">10.1007/978-3-642-88703-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Wladimir+Jewgenjewitsch+Sacharow&rft.btitle=What+Is+Integrability%3F&rft.date=1991&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88703-1&rft.genre=book&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.series=Springer+Series+in+Nonlinear+Dynamics" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="Percy_Deift" title="Percy Deift">Percy Deift</a>: <cite style="font-style:italic">Fifty Years of KdV: An Integrable System</cite>. 2019, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1902.10267">1902.10267 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Integrables+System&rft.au=Percy+Deift&rft.btitle=Fifty+Years+of+KdV%3A+An+Integrable+System&rft.date=2019&rft.genre=book" style="display:none">

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